Wpis dedykuję Liczmistrzowi.

Dziś będę pisał o oczywistej oczywistości RPGowej, czyli o kościach. Temat wydaje się być banalny, każdy z nas miał je wielokrotnie w dłoni. Ale czy wiemy jak one działają? Czy umiemy wytłumaczyć, czym różni się rzut 2k6 od k12 i dzikiej k6? Który daje wyższe szanse sukcesu i który nam się bardziej opłaca? Jeśli nie, zachęcam do poczytania wpisu.

Galeria osobowości

Zacznijmy od krótkiej charakterystyki każdego z bohaterów dzisiejszej notki. Przyjmuję standardową nomenklaturę kostek czyli „kX”, gdzie przedrostek „k” oznacza „kość” a „x” to ilość ścian, które kostka posiada.

k4 to najmniejsza z rzucanych kostek, o małych możliwościach. Z powody wysokiego skoku (każda ściana ma 25% szans na wylosowanie), rzadko stosowana. Najbardziej bolesna kostka w testach nadepnięcia.

k6 to klasyka gatunku – kość od której wszystko się zaczęło i którą można spotkać w prawie każdej grze planszowej czy RPGowej. Jest klasyczną kostką omawianą na zajęciach z prawdopodobieństwa z przeskokiem co 16.(6)%

k8 ma zasypać dziurę między k6 a k10. Jej osiem ścian gwarantuje przeskok co 12.5%. Kość wybitnie nieszczególna.

k10 to kość dziesięciościenna, wykorzystywana do rzucania k100. Poza tym bardzo popularna dzięki skokowi co 10%, wykorzystywana w grach Świata Mroku i Legendzie 5 Kręgów.

k12 ma przeskok co 8.(3)%. Kość ciekawa, ze względu na pewne podobieństwo do 2K6, które opiszę dalej.

K20 to klasyka gatunku dzięki grze Dungeon and Dragons. Skok co 5% pozwala łatwo policzyć, jakie mamy szanse na sukces.

K100 jest bardzo często wykorzystywane w mechanikach procentowych. Skok co 1% pozwala daje bardzo łatwe odwzorowanie wyników. Z powodu dużych rozmiarów i ceny, do symulowania wyników K100 wykorzystuje się dwóch K10 – jedna odpowiada za cyfrę dziesiątek, druga za cyfrę jedności.

Proste porównanie

Z wykresu powyżej widzimy, jaki „zasięg” mają wybrane kostki. Większość mechanik zakłada potrzebę wyrzucenia więcej lub więcej lub równo danemu poziomowi trudności. Dlatego kości lepiej się porównuje sprawdzając, jakie jest prawdopodobieństwo zaliczenia testu o danym poziomie trudności.

Wykres powyżej pokazuje, jakie są szanse na zdanie testu wymagającego wyrzucenie WIĘCEJ NIŻ dany próg. Prawdopodobieństwo to policzyłem sumując szanse na wyrzucenie wszystkich wartości większych niż P. Wykres czyta się w ten sposób, że linie położone wyżej oznaczają większe szanse na zdanie testu. Widzimy rzecz oczywistą – im kostka „większa”, tym „silniejsza”. To znaczy, im więcej ma ścian, tym prawdopodobieństwo wyrzucenia niskiego wyniku jest mniejsze, a zasięg kostki większy.

Zaawansowane porównanie

Większość mechanik zakłada rzucanie więcej niż jedną kością. Powstaje wtedy niezły bałagan, bo jak oszacować, co jest lepsze, k12, czy 2k6? Jak mechanika z dziką kością k6 (nazywaną dalej k6dziką) ma się do wymienionych wcześniej? Przeanalizujemy wspomniane przykłady poniżej.

Rzut k6 i k12 już omówiłem, pozostały 2k6 i k6dzika.

2k6 oznacza rzut dwoma kostkami k6 i zsumowanie ich wyników. Maksymalny wynik to 12, minimalny to 2. Oznacza to, że średnia z rzutu 2k6 jest wyższa niż k12.

śr 2k6 = (2+12)/2 = 7

śr k12 = (1+12)/2 = 6,5

Czy to oznacza, że rzut dwoma kostkami jest zawsze lepszy niż jedną? To nie takie proste.

Rzut k12 ma liniowy rozkład prawdopodobieństwa. Oznacza to, że szanse na osiągnięcie danego wyniku to 1/12. 2k6 liniowa już nie jest. P osiągnięcia danego wyniku to suma jego wystąpień w zbiorze wszystkich możliwych rzutów. Czyli odpowiednio 1/36 dla wyniku dwa, 2/36 dla wyniku trzy i tak dalej.

p	1	2	3	4	5	6
1	2	3	4	5	6	7
2	3	4	5	6	7	8
3	4	5	6	7	8	9
4	5	6	7	8	9	10
5	6	7	8	9	10	11
6	7	8	9	10	11	12

Prawdopodobieństwo wyrzucenia każdej sumy liczymy dzieląc liczbę jej wystąpień przez zbiór wszystkich wyników. Czyli szanse wyrzucenia dwójki wynoszą 1/36, podczas gdy szanse na osiągnięcie siódemki to 6/36.

Prawdopodobieństwo przy rzutach więcej niż jedną kością przypomina dzwon, nie linię. Im więcej kostek rzucamy, tym bardziej krzywa upodabnia się do rozkładu normalnego prawdopodobieństwa.

Ma to duże konsekwencje, jeśli porównamy krzywe wyrzucenia więcej niż dany próg.

Okazuje się, że owszem, 2k6 zaczyna wyniki od 2 (czyli próg więcej niż 1 jest zdawalny z „automatu”), i daje większe szanse na zdanie testów o niskim poziomie trudności, ale jednocześnie, daje mniejsze szanse na osiągnięcie wysokich wyników. To dlatego, że dla k12 szanse wyrzucenia 12 wynoszą 1/12, a dla 2k6 tylko 1/36. Tak więc niby 2k6 ma wyższą średnią rzutu, ale prawdopodobieństwo maksymalnego wyniku jest niższe.

W im więcej rzucamy kości, tym bardziej krzywa wyników przypomina dzwon. Oznacza to, że w rzutach mamy jeszcze większe szanse na zdanie testów prostych i mniejsze na zdanie testów trudnych. Rzucając wiadrem kości będziemy mieli częściej wyniki bliskie średnie, rzucając jedną kostką będziemy mieli równe szanse na średnią jak i na jedno z ekstermów.

 

Dodajmy do tego dziką kość. Ten RPGowy wymysł dużo miesza w naszych rozważaniach. Po pierwsze, i najważniejsze, prawdopodobieństwo sumy wyników na k6dzikiej wynosi więcej niż 100%. Po drugie, nie ma maksymalnego poziomu, jaki możemy uzyskać. Rzuty do poziomu 6 liczymy normalnie, zakładając, że szanse na osiągnięcie każdego wyniku wynoszą 1/6. Ale każdy kolejny wynik, powyżej 6 wymaga wyrzucenia najpierw 6. Oznacza to, że wyrzucenie każdego oczka w przedziale 6-12 liczymy mnożąc rozkład k6 * 1/6. Z kolei wyniki z następnego przedziału liczymy mnożąc rozkład k6 razy 1/6 * 1/6, ponieważ wymagają wyrzucenia wcześniej dwóch szóstek z rzędu. Żeby nie osiwieć, policzę więc prawdopodobieństwo osiągnięcia danego wyniku do progu 12.

Różnica między k6 a k6dziką jest widoczna. Zabawa z turlaniem k6 kończy się przy maksymalnym wyniku, to jest 6. Z kolei k6 dzika pozwala turlać nam dalej.

Jendak porównując kostki ze sobą widzimy, że k6dzika jest znacznie słabsza zarówno od 2k6 jak i od k12. Z jednym ale – przy wyrzuceniu 12, na co mamy niskie szanse, pozwala turlać nam dalej. Z kolei wybierając między k12 a 2k6, musimy się zastanowić, na czym nam bardziej zależy. Na komforcie niezłych średnich wyników 2k6 i większej średniej z rzutu, czy na większych szansach na wynik maksymalny k12.

Zabawy prawdopodobieństwem

Jak się to ma w konkretnych mechanikach RPGowych?

Warhammer to prosty system, w którym cechy postaci określone są procentowo, a obrażenia są przeważnie na kostce 6 lub 10 ściennej (zależnie od edycji). Bardzo łatwo jest więc w nim ocenić szanse na sukces, oraz przewidywane wyniki w walce. Wystarczy spojrzeć na wysokość umiejętności i dodać odpowiedni modyfikator.

Podobnie rzecz się ma z Dungeon and Dragons. System jest wdzięczny do omawiania ze względu na to, że ma zaszyte przedziały wyników w których się poruszamy. Wiadomo, że mając modyfikator +10 nie oblejemy testu o PT10, a mając modyfikator +0 nie rzucimy k20. Pula dostępnych wyników wacha się od poziomu umiejętności +1 do poziomu umiejętności +20. Jeśli znamy poziom trudności, wystarczy proste obliczenie, żeby poznać nasze szanse na sukces. Wystarczy do 20 dodać poziom testowanej umiejętności i od sumy odjąć poziom trudności. Całość mnożymy razy 5 i wiemy, jak sadystyczny jest mistrz gry. Oczywiście, jeśli nie wiemy, jaki jest poziom trudności, pozostaje nam spryt i zgadywanie. Jeśli chodzi o obrażenia, to już kwestia preferencji i edycji, ale z zasady im wyższa kość, tym lepiej.

Na dolnej osi widzimy poziom umiejętności (uwaga, skala nie jest liniowa), a kreski określają szanse na zdanie testu o określonym poziomie trudności.

Savage Worlds używa kolejnych, wyższych kostek na kolejnych poziomach umiejętności. Oznacza to, że zawsze postać będzie mogła mieć pecha i wylosować jedynkę, choć oczywiście, im wyższa kość, tym ryzyko to jest mniejsze. W dodatku gracze mają do dyspozycji dziką kość, która ma niwelować ryzyko niskich wyników. W sumie daje to nietrywialne do policzenia prawdopodobieństwo sukcesu.

Weźmiemy na tapetę kości od k4 do k12 z przerzutami. Bez dzikiej kości.

Możemy porównać to z szansami gracza, mającego dodatkowe wsparcie w postaci dzikiej k6. Widzimy, jak bardzo dzika k6 wpływa na prawdopodobieństwo rzutów.

 

I na koniec, wrzucamy porównanie szans na sukces gracza I BNa.

Podsumowując w stylu Kpt. Obvious’a, im wyższa kość, tym większe szanse. Gracz dzięki dzikiej k6 ma szanse większe niż bohaterowie niezależni.

Twórcy gier z uniwersum Świata Mroku systemu postawili na system wiaderkowy, w którym gracze turlają garści k10, w celu zrealizowania wybranego poziomu trudności. O ilości kości decyduje suma cechy i umiejętności biorących udział w teście, a o poziomie sukcesu to, ile rzucanych kości przebije poziom trudności.

Oczywistym jest, ze im większą pulą kości rzucamy, tym większe mamy szanse na uzyskanie sukcesu. Ale jak wielkie? Żeby ułatwić sobie zadanie, obliczenia zrobię tylko dla poziomu trudności 7.

Im dalej, tym lepiej. Na sesji, dla szybkich obliczeń możemy przyjąć pewne przybliżenia. Nie dają one dobrych wyników, ale nie wymagają kartki papieru. Prawdopodobieństwo pierwszego sukcesu dla jednej kostki to (11-PT) *10%. Każda dodatkowa kość daje +10% szans na pierwszy sukces. Kolejne sukcesy wypadają o 1/3 rzadziej niż poprzednie. Czyli przy PT6 rzucając jedną kością mamy 50% szans na 1 sukces, a rzucając dwiema mamy 60% szans na 1 i 20% na dwa sukcesy. Trzy kości dają 70% szans na jeden, 35 na dwa i 15 na trzy sukcesy. Nie są to dokładne liczby, ale dla szybkiego liczenia „na oko” na sesji wystarczą.

Legenda 5 Kręgów zakłada dwie straszne rzeczy dla określania prawdopodobieństwa. Rzuty dzikimi kości k10 oraz fakt, że nie wszystkie rzucane kości liczą się do sumy wyników. Na szczęście na końcu podręcznika autorzy umieścili tabelkę prawdopodobieństwa, którą można się posługiwać. Można też przyjąć pewne założenie. Jako pomoc naukową wykorzystam przeliczenia z http://www.robedy.info/l5r/roll.html

 

L5R Średnie		Rzucana
Dla 10000 rzutów		1	2	3	4	5	6	7	8	9	10
Zatrzymywane	1	6.16	8.31	9.71	10.73	11.45	12.18	12.74	13.27	13.68	14.19
	2		12.25	15.28	17.45	19.03	20.31	21.35	22.39	23.24	23.94
	3			18.37	21.90	24.59	26.55	28.29	29.64	30.68	31.88
	4				24.42	28.43	31.21	33.69	35.69	37.35	38.82
	5					30.47	34.69	38.12	40.55	42.88	44.89
	6						36.63	40.83	44.49	47.34	49.89
	7							42.80	47.22	50.91	54.10
	8								48.90	53.18	57.10
	9									55.07	59.47
	10										61.08

Jeśli spojrzymy na tabelkę, zauważymy, że:

• Każda kość rzucana i zatrzymywana zwiększa średni wynik o około 6.
• Każde dwie kości rzucane a nie zatrzymywane zwiększają średni wynik o około 5.

Czyli, jeśli rzucam 4 z 2, powinno mi wyjść 12 (za 2 rzucane i zatrzymywane) + 5 (za 2 rzucane i nie zatrzymywane) = 17. I do takiego wyniku mogę w miarę bezpiecznie podbijać.

 

Podsumowując

Mam nadzieję, że teraz wszystkim nam łatwiej będzie zrozumieć na sesji, jakie nasze postaci mają szanse. Jeśli kiedyś będziecie tworzyć własne gry, pamiętajcie o paru zasadach, które próbowałem podkreślić:

Im więcej kości, tym częściej graczom wypadają wyniki średnie.

Im większa kość, tym większy rozrzut prawdopodobieństwa, mniejsze szanse na trafienie w konkretną liczbę i większe maksymalne wyniki.

Jeśli chcesz, żeby postaci w grze miały rzuty oscylujące wokół swoich poziomów umiejętności, żeby słabeusze nie mogli robić rzeczy epickich, eksperci nie knocili spraw, a mistrzowie wymiatali, stosuj wiele kości bez dorzutów, jeśli chcesz, żeby nawet chłop mógł ubić smoka, stosuj kości z przerzutami, a jeśli chcesz, żeby paladyn szarżując miał równe szanse na upadek z konia jak i na trafienie krytyczne, używaj pojedynczych kości.

Miłej gry.

Jako pomoce naukowe wykorzystałem strony anydice.com i podfora angelfire.com